Akademik Veri Yönetim Sistemi
Eker S. (Yürütücü)
TÜBİTAK Projesi, 2219 - Yurt Dışı Doktora Sonrası Araştırma Burs Programı, 2024 - 2025
Bu projede manifoldun skaler eğriliğine bağlı olarak Kim vd. (2000) tarafından tanımlanan Lagrange−eylem
fonksiyoneli, hem manifoldun skaler eğriliğine bağlı reel değerli bir fonksiyona hem de pozitif tanımlı bir
fonksiyonun manifoldun skaler eğriliği ile çarpımına göre farklı iki şekilde tanımlanarak genelleştirilecektir.
Genelleştirilen Lagrange−eylem fonksiyonelinin metriğe göre varyasyonu alınarak Einstein−Dirac denklemi elde
edilecektir. Bu amaçla Kim vd. (2000) tarafından sunulan Einstein− spinor kavramı genelleştirilerek
Einstein−Dirac denkleminin kesin çözümleri sunulacak ve bu duruma uyan manifold örnekleri verilecektir. Ayrıca
metriğe göre varyasyonun doğal sonucu olarak ortaya çıkan stress−enerji tensörünün simetrikliği, divergence
free özelliği gibi geometrik ve analitik yönleri araştırılacaktır.
Daha sonra literatürde mevcut olan eylem fonksiyonelleri (Soler modeli, Thirring modeli, Nambu−Jona−Lasino
Modeli, N−flavors Gross−Neveu Modeli) ele alınıp hem manifoldun skaler eğriliğine bağlı reel değerli bir
fonksiyon hem de pozitif tanımlı bir fonksiyonun manifoldun skaler eğriliği ile çarpımına göre genelleştirilecektir.
Genelleştirilen her bir fonksiyonelin metriğe göre varyasyonu alınarak Einstein−Dirac denklemi elde edilecektir.
Dahası Kim vd. (2000) tarafından sunulan Einstein− spinor kavramı genelleştirilecek ele alınan fonksiyonelin
kritik noktalarına karşılık gelen Einstein−Dirac denklemi için kesin çözümler sunulacak ve bu duruma uyan
manifold örnekleri verilecektir. Ayrıca elde edilen genelleştirilmiş fonksiyonel için metriğe göre varyasyonun
doğal sonucu olarak ortaya çıkan stress−enerji tensörünün simetrikliği, divergence free özelliği gibi geometrik ve
analitik yönleri araştırılacaktır.
Son olarak (Chen vd. 2006, Isobe 2012, Volker 2015, Volker 2016) tarafından tanımlanan eylem fonksiyonelleri
ile quantum alan teorisinde yer alan doğrusal olmayan süper simetrik sigma modelini sırasıyla (Ara 1999, Eells
1978, Lemaine 1977, Ratto 1997) tarafından tanımlanmış 𝐹 −enerji fonksiyoneli, 𝑓 −enerji fonksiyoneli ve Φ −
ve 𝐻 −enerji fonksiyoneli yardımıyla genelleştirecektir. Genelleştiren her bir eylem fonksiyoneli için metriğe bağlı
varyasyonu altında Dirac−harmonik dönüşümleri elde edilecektir. Ayrıca metriğe göre varyasyonun doğal
sonucu olarak ortaya çıkan stress−enerji tensörünün divergence free özelliği gösterilecektir. Dirac−harmonik
dönüşümlerinin çözümleri için monotonluk formülü elde edilecektir. Monotonluk formülünün uygulaması olarak
da Liouville teoremleri elde edilecektir. Son olarak ele alınan Dirac−harmonik dönüşümlerinin regülerliği
gösterilecektir.
Araştırmacı, doktora sonrası araştırma için, Einstein−Dirac denklemlerinin yanı sıra, Dirac−harmonik
dönüşümleri konusunda da çalışmalar yapmayı hedeflediğinden dolayı Purdue Üniversitesinin matematik
bölümünün özel olarak varyasyon hesabı, harmonik dönüşümler üzerine çalışan ve alanında uzman kadroya
sahip olması nedeniyle oradaki çalışmalara katkıda bulunabileceği düşünülmektedir. Ayrıca, deneyimli danışman
ile uzman kadronun bilgi birikimi ve deneyimlerinden yararlanılabileceği kanısı taşıdığından doktora sonrası
araştırmacı olarak ilgili üniversiteye başvurmaya karar vermiştir. Tüm bu nedenlerden dolayı matematik ve fizik
camiasında daha önce hiçbir çalışma yapılmamış olan spin manifoldları üzerinde genelleştirilmiş fonksiyonelleri
ilk defa tanımlayarak hem quantum fiziğinde kullanılabilecek hem de matematik alanında geometrik ve topolojik
olarak incelenebilecek fonskiyonelleri literatüre kazandırmak ve ziyareti boyunca edineceği bilgi ve deneyimler
ile, bahsi geçen sorunların çözümleri çerçevesinde matematik ve fizik camiasına katkıda bulunmaktır. Bu katkı,
uygulama alanına göre gerek Marmara Üniversitesi Matematik bölümü ile, gerekse de ülke ya da dünya
çapındaki üniversiteler ile iş birliği bağlamında yapılan ortak projeler ile sağlanacaktır.